Τοποθετείτε σε ένα μπολ το αλεύρι και το βούτυρο, σε θερμοκρασία δωματίου και κομμένο σε κύβους. Ανακατεύετε με το χέρι μέχρι να σχηματιστούν χοντρά ψίχουλα. Προσθέτετε το νερό και ανακατεύετε ώστε να γίνει μαλακή ζύμη. Αν χρειαστεί, προσθέτετε επιπλέον αλεύρι ή νερό. Τυλίγετε τη ζύμη σε διάφανη μεμβράνη και την αφήνετε στο ψυγείο για 30 λεπτά. Βουτυρώνετε μια στρογγυλή φόρμα. Ανοίγετε τη ζύμη σε φύλλο και την τοποθετείτε ομοιόμορφα στη φόρμα, δίνοντας ύψος 2 περίπου δαχτύλων. Τρυπάτε σε διάφορα σημεία με ένα πιρούνι και ψήνετε στους 225° για 10 λεπτά. Ετοιμάζετε εν τω μεταξύ τη γέμιση. Καθαρίζετε και ψιλοκόβετε το κρεμμύδι και την πιπεριά. Τα σοτάρετε στο βούτυρο και ρίχνετε το κοτόπουλο. Αλατοπιπερώνετε και ανακατεύετε. Προσθέτετε το βασιλικό και μεταφέρετε το μίγμα στη ζύμη. Το στρώνετε να απλωθεί ομοιόμορφα. Πασπαλίζετε με τα τυριά και αναμιγνύετε τα χτυπημένα αυγά με την κρέμα γάλακτος και το γάλα. Περιχύνετε με το μίγμα το κις και το βάζετε στο φούρνο. Ψήνετε στους 200°C για 35 λεπτά περίπου.
