Προθερμαίνετε τον φούρνο στους 220 βαθμούς. Μοιράζετε το φύλλο στα δύο, το ένα ελαφρά μεγαλύτερο από το άλλο. Λιώνετε το βούτυρο σε κατσαρόλα και τηγανίζετε το κρεμμύδι σε μέτρια θερμοκρασία, να μαλακώσει. Βγάζετε από τη φωτιά και αφήνετε να κρυώσει. Ρίχνετε το μίγμα του κρεμμυδιού σε μπολ μαζί με το τριμμένο τυρί, τις πατάτες, τα αυγά, το γάλα, τον μαϊντανό και αλατοπιπερώνετε. Ανακατεύετε καλά να ενωθούν τα υλικά.
Απλώνετε το μεγαλύτερο κομμάτι φύλλου σε στρογγυλό βουτυρωμένο ταψί (23 εκ. διάμ.) Αδειάζετε μέσα τπ γέμιση και αλείφετε τις άκρες του φύλλου με λίγο νερό. Σκεπάζετε τη γέμιση με το δεύτερο φύλλο. Πιέζετε τις άκρες, να ενωθούν, αλείφετε με το αυγό και ψήνετε στον φούρνο για 40 λεπτά ή ώσπου να ροδίσει η επιφάνεια και να γίνει τραγανή. Βγάζετε, κόβετε σε κομμάτια και σερβίρετε.
