Σε μια λεκανίτσα χτυπάτε το βούτυρο μέχρι να γίνει αφράτο. Προσθέτετε το συμπυκνωμένο γάλα σιγά σιγά συνεχίζοντας να χτυπάτε. Ρίχνετε ένα ένα τα αυγά κι ανακατεύετε καλά. Προσθέτετε τα καρότα, τα ψίχουλα και τη βανίλια. Αδειάζετε το μείγμα σε βουτυρωμένη στρογγυλή φόρμα για κέικ και ψήνετε 35 λεπτά περίπου σε φούρνο προθερμασμένο στους 170°C. Σ’ ένα κατσαρολάκι βάζετε τη ζάχαρη με το νερό κι ανακατεύετε πάνω από μέτρια φωτιά για 1-2 λεπτά μέχρι να λιώσει καλά η ζάχαρη. Κατεβάζετε από τη φωτιά και προσθέτετε το μπράντι και την κανέλα. Αφήνετε το μείγμα να σταθεί για 3-4 λεπτά. Αφαιρείτε την κανέλα και περιχύνετε με το σιρόπι το κέικ, μ’ ένα κουτάλι. Αφήνετε να κρυώσει λίγη ώρα και βάζετε στο ψυγείο για 45 λεπτά.
